Popularni Postovi

Izbor Urednika - 2019

Kriteriji Kellyja ili kako trgovci hedge fondova izračunavaju veličinu pozicije

Među mnoštvom različitih izvora informacija, ponekad je prilično teško pronaći potrebne informacije i prikupiti ih u jednu cjelinu. To je uglavnom zbog činjenice da su većina autora knjiga, članaka i tečajeva o trgovanju ljudi koji su daleko od matematike. Stoga su mnoge stvari opisane površno, neke se točke općenito netočno tumače. Drugi je problem što su mnogi ljubitelji Forexa također ljudi koji nisu duboko upućeni u tu vrlo matematiku, pa bi bilo teško razumjeti neke nijanse istog upravljanja novcem bez uranjanja u divljinu formula.

Danas ćemo analizirati što je Kellyjev kriterij i kako ga primijeniti na tržištu bez složenih formula i matematičkih izraza. Svi zaključci i dokazi, istraživanja, teoreme i ostale poteškoće bit će izostavljeni, ali umjesto toga govorit ću o rezultatima svih gore navedenih stvari na jednostavnom i razumljivom jeziku.

Povijest Kelly testa

Kao i strategije d'Alembert i Martingale, Kellyjev kriterij poznat je ljubiteljima sportskih klađenja već dugi niz godina. Oni su problem optimalne stope pokušali riješiti već od osamnaestog stoljeća, raspravom o paradoksu u Sankt Peterburgu Daniel Bernoulli. Čak su i o ovom pitanju stajališta podijeljena: neke nastoje umanjiti vjerojatnost gubitka cjelokupnog depozita za određeni broj budućih transakcija, dok druge, naprotiv, žele postići maksimalno povećanje tog broja transakcija. Drugi je pristup vrednovanje novca pomoću uslužne funkcije. Drugim riječima, sve se svodi na to da najbolje iskoristite svoj depozit. U 18. stoljeću, Daniel Bernoulli koristio se uslužnom funkcijom pokušavajući riješiti paradoks iz Sankt Peterburga, ali bezuspješno.

John Larry Kelly prisjetio se formule iz 1956. godine, primjećujući neka od njezinih zanimljivih svojstava. U to je vrijeme radio za AT&T Bell Laboratories, tvrtku za telekomunikacijske, elektroničke i računalne sustave. Strogo rečeno, upravo ga je ta formula primijenila upravo u ovom području. Zatim, pet godina kasnije, ta su svojstva proučila i sažela u studiji Briman. Pa, već iste godine Markowitz je odlučio primijeniti formulu na vrijednosne papire. A godinu dana kasnije, 1962., Edward O. Thorpe je kriterij detaljno opisao u prvom izdanju svoje knjige Beat the Dealer (Beat the Diler). Ovako teška priča za ovaj kriterij, nazvana ne u čast pravog autora i dobila je distribuciju na financijskim tržištima također po volji posve druge osobe.

Što je Kellyjev kriterij i kako ga izračunati?

Kellyjev kriterij ima mnoštvo svojstava za određeni trgovački sustav s pozitivnim matematičkim očekivanjima i evo kojih je najviše "čarobnih":

  • količina kapitala neograničeno raste;
  • vjerojatnost propadanja igrača teži nuli s povećanjem broja obrta.

Doista, primjenjujući Kellyjev kriterij, kapital će rasti brže nego kad se koristi bilo koji drugi način upravljanja sredstvima. Zapravo, određivanjem veličine partije ovom metodom, trgovac djeluje optimalno, ali samo u vrlo posebnom slučaju. Ovdje pod samom optimalnošću mislimo na ovo:

  • što brži kapital dosegne unaprijed određenu vrijednost;
  • dostizanje maksimalnog iznosa kapitala nakon određenog broja transakcija.

Miriše na overclocking, zar ne? Tako je i malo kasnije shvatit ćete zašto.

Prvo, pogledajmo Kelly-ovu formulu kriterija. U literaturi možete pronaći ogroman broj različitih formula za proračun, a sve će one biti istinite. Na mreži postoji puno inačica formula za klađenje koje autori članaka pokušavaju primijeniti na financijskim tržištima. Najčešća formula koju sam upoznao izgleda ovako:

X = p - q / w, gdje je:

p je vjerojatnost pobjede;

q je vjerojatnost gubitka;

w je prosječna vrijednost dobitka (također se često preporučuje upotreba prosječne vrijednosti dobitka u odnosu na prosječni gubitak).

Na osnovu formule uvijek biste u svakoj transakciji trebali kladiti na veličinu vašeg kapitala. To jest, ako je x = 0,1, tada za svaku transakciju trebate uložiti 10% svog kapitala. Gore navedena formula u nastavku će se navoditi kao "jednostavan" Kellyjev kriterij.

Ako TAKE DOBITAK = STOP GUBITAK, tj. W = 1, formula pojednostavljuje: F = P (W) - P (L).
Dakle, ako je vjerojatnost pobjede 60%, tada je F = 20%.

Pokušajmo primijeniti Kellyjev kriterij, izračunat u skladu s ovom formulom, na sustav sa stopom, tri uzimaju profitnu razinu, proboj, dvije različite vrste zaustavnog zaustavljanja i izlaza prema stohastičkom:

Sustav ima 78,06% profitabilnih transakcija s prosječnom dobiti od 9,59 USD i prosječnim gubitkom od -25,23 $.

Prenosimo statistiku u Excel za nastavak naših izračuna. Planiramo rast depozita fiksnog lota 0,1:

Sada izračunavamo Kellyjev kriterij za naš sustav formulom X = p - q / w:

X = 78,06 - 21,94 / (9,59 / 25,23) = 20,32%.

Odgovarajući raspored:

Naš depozit pokazao je vrhunac na oko 1.724.000, a tada smo upali u niz neuspješnih transakcija, što je našu bilancu smanjilo na 997.000.

Kellyjev kriterij optimalnost

Relativna stopa rasta kapitala, ovisno o odabranom utjecaju, bit će proporcionalna k-0,5 * k ^ 2, gdje je k Kellyjev kriterij. Prvi je pojam razumljiv - u prvom aproksimaciji brzina bi trebala biti proporcionalna ramenu, jer se čini da slijedi iz zdravog razuma. Drugi pojam opisuje gubitak konverzije, koji je s malim utjecajem gotovo nevidljiv, ali brzo raste s polugom i nakon što Kelly žestoko ubije prinos do nule - teritorij velikih kriterija završava "rupom za posebno pohlepne".

S porastom utjecaja, profit raste linearno, a gubitak prijevoda, kao što se vidi iz formule, raste kvadratno. To dovodi do činjenice da s porastom utjecaja, ukupna profitabilnost trgovine raste sve manje i manje, a nakon postizanja određenog optimalnog stanja ona počinje opadati i uskoro prelazi u minus. Ispada čudna stvar - imamo, primjerice, prilično dobru strategiju s puno profitabilnih ponuda, donosimo odluku kako bismo povećali utjecaj na maksimum kako bismo stisnuli više prihoda, i kao rezultat toga neočekivano dobivamo potpuni gubitak računa.

Brzina rasta dostiže optimalnu vrijednost pri ramenu Nkprema Kellyjevom kriteriju, a s daljnjim porastom ramena počinje padati, brzo dosegavši ​​nulu i prelazeći u negativnu zonu za pretjerano velika ramena ("jama za pohlepne"). Sada bi trebalo biti jasno da postoji optimalan igrač, na kojem imamo maksimalnu profitabilnost, i iznad kojeg gubitak prijevoda počinje ubijati profit. S povećanjem poluge iznad optimalne, unatoč rastućoj volatilnosti računa, ukupna dobit je sve manja.

Ispada da ne možete podići rame bez da unaprijed znate njegovu optimalnu razinu Kellyja za korištenu strategiju. Rezultati mogu biti neugodno iznenađujući. Iznad Kellynovog kriterija, trebao bi biti pad profitabilnosti prema dolje, možete uletjeti u nju i upasti u "rupu za pohlepe". Zato se ne isplati koristiti dobiveni kriterij bez umjetnog smanjenja.

Ograničenja Standardne formule

Gotovo nigdje nije napisano da u ovoj formulaciji Kellyjev kriterij pretpostavlja da u trgovinskom sustavu mogu biti samo rezultati:

-1x oklada (to jest, trgovac gubi na x = 0,1 točno 10% depozita);

+ wx bet (to jest ili pobjeda w ili gubitak -1).

Ova je opcija, kao što vidite, prilično poseban slučaj u kojem mogu postojati samo dva ishoda transakcije - ili zaustavljanje gubitka ili uzimanje dobiti. Ali općenitija opcija, gdje je moguć veliki broj različitih rezultata svake transakcije (na primjer, u sustavima koji koriste proboj, kasni zaustavljanje i izlaz iz sustava), ova opcija izračuna neće raditi.

Stoga je potrebno formulirati formulu za izračun Kellyjevog kriterija. Propuštajući teorijske proračune, dokaze i formulacije, dat ću samo konačni rezultat.

Općenita formula Kelly Test

Pretpostavimo da imamo trgovinski sustav koji je dao sljedeće rezultate {ai, ki} za i = 0 ... n, gdje je k broj transakcija s jednim rezultatom, a njihov je rezultat, i broj transakcija. Da budemo jasniji: sklopili smo gomilu ugovora u sustavu i podijelili te ponude prema rezultatima. Pokazalo se za nas, na primjer, 10 transakcija s bu (0%), 30 transakcija s dobiti od 2%, 20 transakcija s gubitkom -3% i tako dalje. Možemo imati onoliko opcija koliko želite, postoje i ja njih. U svakom takvom skupu imamo broj transakcija s jednim rezultatom (k) i samim rezultatom (a). Ako je a> 0, tada su transakcije ili transakcije zatvorene s dobitkom, ako je <0, onda s gubitkom.

Transakcije s nultim rezultatom mogu se odbaciti, ne utječu na krajnji rezultat sustava. Sada pretpostavljamo da su sve ponude (ili hrpe posla s istim rezultatima) raspoređene uzlaznim redoslijedom, dok imamo najmanje jednu gomilu gubitničkih transakcija, tj. A1<>

Trgovinski sustav s ishodima {ai, ki} za i = 0 ... n će donijeti prihod samo ako je zbroj svih aikija> 0. I to se događa kada su matematička očekivanja sustava pozitivna. Ako je zbroj svih aikija manji ili jednak nuli, sustav je osuđen na iscrpljivanje i nijedan sustav upravljanja novcem ovdje neće pomoći.

Uvodimo funkciju:

Poznato je da postoji samo 0

Maksimalni rizik u jednoj trgovini je | ai | x0.

Prosječni iznos kapitala nakon i transakcija, pod pretpostavkom da je početni kapital 1, po stopi x, može se odrediti formulom:

Ako ulog x zadovoljava uvjet G (x, 1)> 1, tada je stavljanjem x trgovac uspješan.

I posljednja točka, vjerojatnije uspoređivanje dvaju sustava. Pretpostavimo da imamo dva sustava {a1i, k1i} i {a2i, k2i} s pozitivnim očekivanjima, koji su testirani na istom vremenskom intervalu. Prvi je sustav napravio i1 ponude, drugi i2 ponude, trgovac je u prvom sustavu postavio x1, u drugom x2. Tada će prvi sustav biti učinkovitiji od drugog ako je G1 (x1, i1)> G2 (x2, i2).

Kao rezultat toga, rješavajući jednadžbu iz stavka 2., dobivamo Kellyjev kriterij. Najbolje je riješiti ovu jednadžbu uz pomoć specijaliziranih matematičkih programa, na primjer, MathCAD. Također možete koristiti Excel i alat za pretraživanje rješenja. Četvrta i peta točka koriste se za procjenu učinkovitosti trgovinskog sustava i omogućuju vam da procijenite prosječni kapitalni dobitak. Izračunato pomoću ove formule, Kellyjev kriterij imat će sve gore navedene prednosti - nultu vjerojatnost propadanja i optimalnu stopu rasta kapitala.

Praktična primjena

Najvjerojatnije, ako pročitate ovo mjesto, još uvijek niste razumjeli kako izračunati Kellyjev kriterij. Pogledajmo jednostavan primjer. Dakle, imamo trendovski sustav koji je sklopio 100 ponuda, od kojih je 10 donijelo + 20%, još 30 je dalo + 40%, a ostali su izgubili - dvadeset na -30%, a četrdeset na -10%. Podsjetim: prihodi i gubici smatraju se postotkom iznosa kapitala prije transakcije. Sustav napravi samo 30 transakcija godišnje - trendovski sustav, recimo, na dnevnom redu, radi na jednom valutnom paru. Dakle, imamo 4 različita ishoda +0,2, +0,4, -0,3, -0,1, a oni su se ponovili 10, 30, 20 i 40 puta, odnosno, imamo a1 ... a4 i k1 ... k4. Prvo provjerimo da li je matematičko očekivanje pozitivno, inače nema smisla primjenjivati ​​Kellyjev kriterij. U formulu zamjenjujemo s 1 bod: 0,2 * 10 + 0,4 * 30-0,3 * 20-0,1 * 40 = 2 + 12-6-4 = 4> 0, sve je u redu, sustav može donijeti profit. Sastavljamo jednadžbu iz stavka 2:

E (x) = 0,2 * 10 / (1 + 0,2x) + 0,4 * 30 / (1 + 0,4x) - 0,3 * 30 / (1-0,3x) - 0,1 * 40 / (1-0,1x) = 2 /(1+0.2h)+12/(1+0.4h)-6/(1-0.3h)-4/(1-0.1h) i E (x) = 0. Imamo i kriterij - za E (f) = 0 imamo jedini korijen jednadžbe 0

Naša će formula biti ciljna ćelija koju treba izjednačiti s nulom mijenjajući ćeliju s X. Vjerovatno znate kako koristiti ovaj alat, a ako ne, pogledajte kurs Excel Trader. Evo što sam dobio nabrajanjem:

To je gotovo nula, ali još uvijek zaokružujemo mali X u manjem smjeru, na 0,58. Odnosno, optimalna stopa u našem slučaju je 0,58% kapitala. Ako ste koristili utjecati u trgovanju, rezultate ćete morati dovesti do utjecaja 1: 1. Odnosno, bez promjena možete položiti testove trgovačkih sustava s puno 0,1 sa pologom od 10 000 USD. U suprotnom, rezultate svake transakcije morate donijeti u odgovarajućem obliku.

Složeniji primjer

Malo više, dao sam statistiku o stvarnom sustavu. Sada ćemo izračunati Kellyjev kriterij za ovaj trgovački sustav koristeći Excel.

Pripremamo podatke za izgradnju histograma:

Uzmi 10 džepova:

Izrađujemo histogram raspodjele rezultata transakcija i uklanjamo nulte rezultate:

Odredite minimalno i maksimalno f: 0

Zatim uvodimo našu dugu formulu:

Tada ćemo koristiti alat "Pretraživanje rješenja" i pronaći Kellyjev kriterij:

U ovom slučaju je 47,6%:

Kao što možete vidjeti, rast depozita je još značajniji, što znači da je naša stopa optimalnija. U ovom slučaju, depozit je pao na 2000 dolara. Sada primijenimo malo povećani Kellyjev kriterij:

Kao što vidite, maksimalni rast depozita dostigao je astronomske vrijednosti, ali čim je započeo niz neuspjeha, brzo smo se prepustili gotovo onom mjestu gdje smo i započeli. U ovom slučaju, prije nego što smo dostigli maksimum, pali smo na 250 dolara na depozitu.

I doista, ispada da je najbrži rast depozita. Ali odstupanje je izuzetno veliko - oko 80%. Zato sam govorio o overclockingu. Ako ne pogriješite s testiranjem i proračunima, Kellyjev kriterij će vam reći točno koji postotak depozita trebate riskirati kako biste postigli maksimalnu profitabilnost. Ali takva će trgovina, naravno, biti na rubu.

Kelly test funkcija za savjetnike

Pa, evo kako izgleda funkcija za izračunavanje jednostavnog Kellyjevog kriterija za savjetnike:

Jedino čega se valja prisjetiti korištenja Kelly-ovog kriterija u vašim algoritmima je da bi broj transakcija u povijesti trebao biti prilično velik. Morate biti sigurni da je vaš sustav uspio posjetiti različite tržišne uvjete, jer u protivnom, čim se ti uvjeti dostignu, ući ćete u njih s pretjerano visokim rizikom i izgubiti depozit ili većinu toga. Evo vizualne demonstracije Kellyjevog kriterija u djelu:

Korišteno je 800 transakcija nakon čega je partija izračunata prema Kelly-ovom kriteriju. Grafikon ima vrlo visoku volatilnost, blago rečeno, pristojno "oluje". Ipak, depozit možemo izgubiti samo ako u povijesti nemamo dovoljno transakcija, a cjelokupni izračun usmjeren je upravo na maksimiziranje profita, bez obzira na sve.

Prednosti kriterija Kelly

Glavna prednost kriterija Kelly je iznimna sigurnost depozita. Vjerojatnost bankrota, igranja prema algoritmu koji je predložio Kelly, praktički je nula. Čak i u slučaju zastrašujuće neuspjehe, vaš kapital će se smanjiti za savršeno podnošljiv iznos. Na primjer, ako imamo depozit od 1000 eura izgubimo osam transakcija u iznosu od 6,67% depozita, tada ćemo na svom računu imati 574,19 dolara. S obzirom na dugu "crnu prugu", prihvatljiv rezultat, zar ne?

Nedostaci Kellyjevog kriterija

Unatoč očitim prednostima koje Kellyjev kriterij pruža kao sustav upravljanja novcem, ovaj pristup ima određene nedostatke.

  • Prvo, za izračun kriterija potrebna vam je gotova povijest transakcija. Što ih više bude, točniji će biti izračun. Ako za proračun koristite dovoljno podataka, riskirate previsoki rizik i izgubite depozit;
  • Drugo, Kellyjev kriterij izračunava se za pojedinu sljedeću okladu. Sljedeći put kriterij će se morati ponovo razmotriti. Naravno, kod svake nove transakcije promjene nisu ključne, ali, recimo, jednom u svakih 5-10 transakcija kriterij će se morati ponovno izračunati. Općenito, uopće nije teško primijeniti poseban slučaj kriterija opisanog na početku članka, ali on, strogo rečeno, nije svuda prikladan;
  • Treće, složenost izračuna također ograničava njegovu upotrebu za ručne trgovce koji trguju unutar dana;
  • Četvrto, ova metoda izračuna i dalje čini raspored depozita previše volatilnim.Da, u teoriji, znamo da ne možemo izgubiti polog. Ali u praksi, trgovanje takvim rizicima lako će vam dodati sijedu kosu;
  • Peto, jednostavan Kellyjev kriterij općenito ne uzima u obzir maksimalne gubitke u jednoj transakciji. U međuvremenu, trgovanje s rizikom koji je izračunao Kelly, recimo, na 40% depozita i dobivanje jednog gubitka iznad prosjeka dva puta (uglavnom, uobičajena je stvar, ako ne koristite isto fiksno stajalište u svakoj trgovini), dobit ćete Margin poziv. Složena gornja formula dana djelomično će nas spasiti od ovog nedostatka - ona samo uzima u obzir rezultate, uključujući i samu transakciju gubitka. Ali nemojte zaboraviti da nema garancije da u budućnosti nećete imati još ozbiljniji maksimalni gubitak.
  • Šesto, nijedna formula Kellyjevog kriterija ne uzima u obzir neujednačenost dobivanja profitabilnih i neprofitabilnih transakcija. Drugim riječima, ne uzima se u obzir stvarna mogućnost dobivanja dugog niza gubitaka. Takva serija neće isprazniti račun, ali najvjerojatnije ćete izgubiti svu dobit.

Zaključak

Zapravo, Kellyjev kriterij prilično je opsežno polje znanja, o kojem je nemoguće govoriti u okviru jednog članka. Štoviše, sve to zahtijeva ne najslabiju matematičku obuku. No, onima koji se ne boje poteškoća, kriterij omogućuje izračunavanje:

  • vjerojatnost postizanja postavljenog cilja u n pokušaja;
  • vjerojatnost da će se kapital ikada smanjiti na djelić x početne vrijednosti;
  • vjerojatnost pada na ili iznad određene vrijednosti na kraju određenog broja pokušaja;
  • kontinuirano približavanje vremena koje se očekuje za postizanje cilja;
  • vjerojatnost da će jedna strategija biti ispred druge nakon n pokušaja;
  • a također i nekoliko zanimljivih značajki.

Ostavite Komentar