Popularni Postovi

Izbor Urednika - 2019

Forex fraktali - ono što trebate znati

Malo je vjerojatno da ćete na tržištu Forexa naći barem jednog novog korisnika koji ne bi znao što je fraktal. I mnogi su čuli za takav koncept izvan tržišta. Fraktali su poznati gotovo stoljeće, dobro su proučavani i imaju brojne primjene u životu. Temelj ovog fenomena je vrlo jednostavna ideja: neograničen broj figura u ljepoti i raznolikosti može se dobiti iz relativno jednostavnih struktura s samo dvije operacije - kopiranjem i skaliranjem.

Što je fraktal?

Pojam "fraktal" nema strogu definiciju. Stoga ova riječ nije matematički pojam. Obično se naziva geometrijska figura koja zadovoljava jedno ili više sljedećih svojstava:

- ima složenu strukturu pri bilo kojem povećanju;

- je (približno) sličan;

- ima frakcijsku Hausdorffovu (fraktalnu) dimenziju, koja je veća od topološke;

- može se izgraditi rekurzivnim postupcima.

Povijest nastanka

Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće proučavanje fraktala bilo je više epizodno nego sustavno. Prije toga, matematičari su uglavnom proučavali predmete koji su se mogli proučavati pomoću općih metoda i teorija.

1872. njemački matematičar Karl Weierstrass konstruirao je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, njegova je konstrukcija bila potpuno apstraktna i teško je uočiti. Stoga je Šveđanin Helge von Koch 1904. godine izumio kontinuiranu krivulju koja nigdje nema tangente, a vrlo je jednostavno nacrtati. Pokazalo se da ima svojstva fraktala. Jedna varijacija ove krivulje naziva se Kochova snježna pahuljica.

Ideje o sličnosti pokupio je Francuz Paul Pierre Levy, budući mentor Benoita Mandelbrota. 1938. objavljen je njegov članak "Ravne i prostorne krivulje i površine koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini", u kojem je opisan još jedan fraktal - Levy C-krivulja. Svi navedeni fraktali mogu se uvjetno svrstati u jednu klasu konstruktivnih (geometrijskih) fraktala.

Druga klasa su dinamični ili algebrični fraktali, koji uključuju skup Mandelbrot. Prve studije u ovom smjeru datiraju s početka 20. stoljeća i povezane su s imenima francuskih matematičara Gaston Julia i Pierre Fatou. Godine 1918. Julia je objavila gotovo dvjesto stranica rada posvećenih iteracijama složenih racionalnih funkcija, u kojima su opisani Julijevi skupovi - čitava obitelj fraktala usko povezana s Mandelbrotovim setom. Za ovo je djelo nagrađena nagrada Francuske akademije, ali nije sadržavala niti jednu ilustraciju, pa je bilo nemoguće procijeniti ljepotu otvorenih predmeta. Unatoč činjenici da je ovo djelo proslavilo Juliju među matematičarima toga vremena, brzo su zaboravili na to.

Ponovno je pažnja bila posvećena radu Julije i Fatoua, samo pola stoljeća kasnije, pojavom računala: upravo su bogatstvo i ljepota fraktalnog svijeta postali vidljivi. Uostalom, Fatou nikada nije mogao gledati slike koje danas znamo kao slike Mandelbrotovog skupa, jer potreban broj izračuna ne može se izvršiti ručno. Prvi koji je za to upotrijebio računalo bio je Benoit Mandelbrot.

1982. objavljena je Mandelbrotova knjiga Fraktalna geometrija prirode u kojoj je autor prikupio i sistematizirao praktički sve podatke o fraktalima koji su bili dostupni u to vrijeme i iznio ih na jednostavan i dostupan način. Mandelbrot je u svom izlaganju glavni naglasak stavio ne na teške formule i matematičke konstrukcije, već na geometrijsku intuiciju čitatelja.

Zahvaljujući računalno generiranim ilustracijama i povijesnim pričama, s kojima je autor vješto razrijedio znanstvenu komponentu monografije, knjiga je postala bestseler, a fraktali su postali poznati široj javnosti. Njihov uspjeh među ne-matematičarima uvelike je posljedica činjenice da se uz pomoć vrlo jednostavnih konstrukcija i formula koje srednjoškolac može razumjeti, dobivaju slike zadivljujuće složenosti i ljepote.

Kad su osobna računala postala dovoljno moćna, pojavio se čak čitav trend umjetnosti - fraktalno slikanje, a to je mogao učiniti gotovo svaki vlasnik računala. Sada na Internetu lako možete pronaći mnoga web mjesta posvećena ovoj temi.

Nakon ovog kratkog umora u povijest, upoznajmo se danas s klasifikacijom fraktalnih tipova.

Geometrijski fraktali

S njima je, kao što ste već shvatili, započela povijest fraktala. Ova vrsta fraktala dobiva se jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Prvo je prikazana baza. Tada se neki dijelovi baze zamjenjuju ulomkom. U svakoj sljedećoj fazi dijelovi već izgrađene figure, slično zamijenjenim dijelovima baze, ponovno se zamjenjuju ulomkom snimljenim u prikladnoj skali. Svaki put kada se mjerilo smanjuje. Kad promjene postanu vizualno neprimjetne, vjeruju da izgrađena figura dobro približava fraktal i daje predstavu o njegovom obliku. Da biste postigli sam fraktal, treba vam beskonačni broj stupnjeva. Promjena baze i ulomka - možete dobiti mnogo različitih geometrijskih fraktala.

Geometrijski fraktali dobri su u tome što su, s jedne strane, predmet dovoljno ozbiljnih znanstvenih proučavanja, a s druge strane, mogu se vidjeti. Čak će i osoba koja je daleko od matematike pronaći u njima nešto za sebe. Takva je kombinacija rijetka u modernoj matematici, gdje se svi objekti definiraju pomoću nejasnih riječi i simbola.

Mnogo geometrijskih fraktala može se crtati doslovno na komadu papira u kavezu. Važno je razumjeti da su sve dobivene slike samo konačne aproksimacije beskonačnih, svojstveno fraktala. Ali uvijek možete izvući takvu aproksimaciju da oko neće moći razlikovati vrlo male detalje, a naša će mašta moći stvoriti pravu fraktalnu sliku.

Na primjer, imajući dovoljno velik list grafičkog papira i slobodnog vremena, možete ručno nacrtati tako točnu aproksimaciju Sierpinskog tepiha da će ga s udaljenosti od nekoliko metara golim okom shvatiti kao pravi fraktal. Računalo će uštedjeti vrijeme i papir, a pritom još povećava točnost crtanja.

Koch snježne pahulje

Ovo je jedan od prvih fraktala koji su proučavali znanstvenici. Snježna pahulja dobivena je iz tri kopije krivulje Koch, koja se prvi put pojavila u članku švedskog matematičara Helgea von Kocha 1904. godine. Ta je krivulja izmišljena kao primjer kontinuirane crte, do koje je nemoguće nacrtati tangentu u bilo kojem trenutku. Linije s ovim svojstvom bile su poznate i prije, ali krivulja Koch je izvanredna po jednostavnosti svog dizajna.

Kochova krivulja je kontinuirana, ali nigdje diferencibilna. Grubo govoreći, upravo je to izmišljeno - kao primjer takvih matematičkih "nakaza".

Kochova krivulja ima beskonačnu duljinu. Neka duljina početnog segmenta bude 1. U svakom koraku izgradnje zamijenimo svaku komponentu linije segmenata polinom koja je 4/3 puta duža. To znači da se duljina cijelog polilina u svakom koraku množi sa 4/3: duljina linije s brojem n je (4/3) n-1. Stoga od granične linije ne preostaje ništa osim biti beskonačno dugačak.

Koch pahulja ograničava krajnju površinu. I to unatoč činjenici da je njegov perimetar beskrajan. Ovo se svojstvo može činiti paradoksalno, ali je očito - pahulja je u potpunosti smještena u krug, pa je njezino područje namjerno ograničeno. Možete izračunati područje, a za to vam i ne trebaju posebna znanja - formule područja trokuta i zbroja geometrijskog napretka održavaju se u školi.

Kochova pahulja "obrnuto"

Kochova pahulja "obrnuto" dobiva se konstrukcijom Kochovih krivulja unutar izvornog jednakostraničnog trokuta.

Linije cesaroa

Umjesto jednakostraničnih trokuta, koriste se izosceli trokuti s kutom u bazi od 60 ° do 90 °. Na slici ispod kut je 88 °.

Opcija kvadrata

Ovdje se dovršavaju trgovi.

Kochova piramida

T-kvadrat

Izgradnja započinje kvadratom jedinica. Prvi korak: obojite kvadrat s 1/2 stranice u sredini bijelom bojom. Zatim morate mentalno podijeliti kvadrat na 4 identična i u sredini svakog od njih ispuniti kvadrat s 1/4 strane. Nadalje, svaki od ta 4 kvadrata opet je podijeljen na 4 dijela, dobit će se ukupno 16 kvadrata, a sa svakim od njih trebate učiniti isto. I tako dalje.

Fraktalna dimenzija je obojljena bijelom bojom i jednaka je log24 = 2. Na izvornom kvadratu je svuda gusta. To znači da bez obzira na to koju točku kvadrata uzimamo, postoje sjene točke u bilo kojem njenom proizvoljno malom kvartu. Odnosno, na kraju se gotovo sve poprimilo bijelo - područje ostatka je 0, a fraktal zauzima područje 1. No, duljina obruba ispunjenog dijela je beskonačna.

H fraktal

Sve počinje s likom u obliku slova H, u kojem su vertikalni i vodoravni segmenti jednaki. Potom se na svaki od četiri kraja slike kopija nje smanjuje, prepolovi. Kopija slova H smanjuje se na svaki kraj (već ih ima 16), smanjuje se već 4 puta. I tako dalje. U ograničenju, dobivate fraktal koji vizualno gotovo ispunjava određeni kvadrat. H-fraktal je svuda gust u njemu. To jest, u bilo kojem susjedstvu bilo koje točke trga postoje fraktalne točke. Vrlo slično onome što se događa s T-kvadratom. To nije slučajno, jer ako pažljivo pogledate, jasno je da je svako slovo H sadržano u svom malom kvadratu, koji je završen istim korakom.

Možemo reći (i dokazati) da H-fraktal ispunjava svoj kvadrat (engleska krivulja punjenja prostorom). Stoga je njegova fraktalna dimenzija 2. Ukupna duljina svih segmenata je beskonačna.

Načelo konstrukcije H-fraktala koristi se u proizvodnji elektroničkih mikrovezijskih krugova: ako je potrebno da u složenom krugu velik broj elemenata istovremeno primi isti signal, oni se mogu smjestiti na krajevima segmenata prikladne iteracije H-fraktala i povezati ih u skladu s tim.

Mandelbrot stablo

Stablo Mandelbrot dobiva se ako crtate debela slova H, koja se sastoje od pravokutnika, a ne od segmenata:

Stablo pitagora

Naziva se tako zato što svaki trostruki par dodirivanih kvadrata prelazi pravi trokut i dobivamo sliku koja je često ilustrirana pitagorejskim teoremom - "pitagorejske hlače su jednake u svim smjerovima."

Jasno se vidi da je cijelo stablo ograničeno. Ako je najveći kvadrat jednostruki, tada će se stablo uklopiti u pravokutnik veličine 6 × 4. Stoga njegova površina ne prelazi 24. Ali, s druge strane, svaki put se dodaje dvostruko više trostrukih kvadrata od prethodnog, a njihove linearne dimenzije su √2 puta manje. Stoga se u svakom koraku dodaje isto područje koje je jednako području početne konfiguracije, tj. 2. Čini se da bi tada područje stabla trebalo biti beskonačno! Ali, u stvari, ovdje nema proturječja, jer se vrlo brzo trgovi počinju preklapati, a područje ne raste tako brzo. Još uvijek je ograničeno, ali očito je još uvijek nepoznato točno značenje, a to je otvoren problem.

Ako promijenite kutove na dnu trokuta, dobit ćete malo drugačiji oblik stabla. A pod kutom od 60 ° sva će tri kvadrata biti jednaka, a stablo će se pretvoriti u periodični uzorak na ravnini:

Možete čak i zamijeniti kvadrate pravokutnicima. Tada će stablo biti više poput pravih stabala. I s nekom umjetničkom obradom dobivaju se prilično realne slike.

Peano krivulja

Prvi put se takav predmet pojavio u članku talijanskog matematičara Giuseppea Peanoa 1890. godine. Peano je pokušao pronaći barem pomalo živopisno objašnjenje činjenice da su segment i kvadrat podjednako moćni (ako ih uzmemo kao skupove točaka), odnosno da imaju "isti" broj bodova. Taj je teorem prethodno dokazao George Cantor u okviru teorije skupova koju je izumio. Međutim, takvi sukobljeni rezultati intuicije uzrokovali su veliki skepticizam u odnosu na novu teoriju. Peanoov primjer - izgradnja kontinuiranog preslikavanja iz segmenta linije u kvadrat - bio je dobra potvrda Cantorine ispravnosti.

Zanimljivo je da Peanoov članak nije imao niti jednu ilustraciju. Ponekad se izraz „Peano krivulja“ ne pripisuje konkretnom primjeru, već bilo kojoj krivulji koja ispunjava dio ravnine ili prostora.

Hilbertova krivulja

Ovu krivulju (Hilbert krivulju) opisao je David Hilbert 1891. godine. Konačne aproksimacije na matematički objekt možemo samo vidjeti - ono će se pokazati u granici tek nakon beskonačnog broja operacija.

Fraktalni "grčki križ"

Drugi zanimljiv primjer je grčki križ fraktal.

Gosper krivulja

Gosperina krivulja, ili Gosperska snježna pahulja, još je jedna varijacija zakrivljenih linija.

Levy Curve

Iako je predmet proučavao Talijan Ernesto Cesaro 1906. godine, njegova sličnost i fraktalna svojstva proučio je 1930-ih Francuz Paul Pierre Levy. Fraktalna dimenzija granice ovog fraktala približno je jednaka 1,9340. Ali to je prilično kompliciran matematički rezultat, a točna vrijednost nije poznata.

Zbog svoje sličnosti slovom "C", napisanim ukrašenim fontom, naziva se i Levy C-krivulja. Ako pogledate izbliza, možete vidjeti da je krivulja Levy slična obliku krošnje stabla Pitagore.

Hilbertova kocka

A postoje i trodimenzionalni analozi takvih linija. Na primjer, trodimenzionalna Hilbertova krivulja ili Hilbertova kocka.

Elegantna metalna inačica trodimenzionalne Hilbertove krivulje (treća iteracija) koju je stvorio Carlo Secin, profesor računalnih znanosti na Sveučilištu Kalifornija, Berkeley.

Sierpinski trokut

Ovaj fraktal opisao je 1915. godine poljski matematičar Vaclav Sierpinski. Da biste ga dobili, morate uzeti jednakostranični trokut s unutarnjom stranom, nacrtati u njemu srednje crte i izbaciti središnji od četiri formirana mala trokuta. Nadalje, ti se isti koraci moraju ponoviti sa svakim od preostala tri trokuta, itd. Na slici su prikazana prva tri koraka, a u treningu bljeskalice možete vježbati i doći do koraka do desetog.

Izbacivanje središnjih trokuta nije jedini način da se kao rezultat dobije trokut Sierpinski. Možete se kretati "u suprotnom smjeru": uzmite prvotno "prazan" trokut, zatim dovršite trokut formiran srednjim linijama u njemu, a zatim napravite isto u svakom od tri uglasta trokuta, itd. U početku će se brojke jako razlikovati, ali s porastom broja iteracija sve će više nalikovati jedna drugoj, a u granici se podudarati.

Sljedeći način dobivanja Sierpinskog trokuta još je sličniji uobičajenoj shemi izgradnje geometrijskih fraktala zamjenom dijelova sljedeće iteracije s umanjenim fragmentom. Ovdje se u svakom koraku segmenti koji čine isprekidanu liniju zamjenjuju isprekidanom linijom od tri veze (dobiva se u prvoj iteraciji). Da biste odložili ovu prekinutu liniju, trebate naizmjenično udesno i lijevo. Može se vidjeti da je osma iteracija vrlo blizu fraktalu, a što dalje idete, bliži će vam se red.

Tepih (kvadrat, ubrus) Sierpinski

Ugledni matematičar nije se zaustavio na trokutima i 1916. opisao je kvadratnu verziju. Uspio je dokazati da je svaka krivulja koja se može povući u ravnini bez samo-sjecišta homeomorfna nekom podskupu ovog trga luknja. Poput trokuta, kvadrat se može dobiti od različitih dizajna. Klasična metoda prikazana je s desne strane: kvadrat podijelite na 9 dijelova i izbacite središnji dio. Zatim se isto ponovi za preostalih 8 kvadrata itd.

Poput trokuta, kvadrat ima nulu.Fraktalna dimenzija Sierpinskog tepiha je log38; izračunava se slično dimenziji trokuta.

Sierpinska piramida

Jedan od trodimenzionalnih analoga Sierpinskog trokuta. Konstruirana je na isti način, uzimajući u obzir trodimenzionalnost onoga što se događa: 5 primjeraka početne piramide, komprimirano dva puta, čine prvu iteraciju, njegovih 5 primjeraka čine drugu iteraciju i tako dalje. Fraktalna dimenzija je log25. Slika ima nulti volumen (na svakom koraku polovica volumena se izbacuje), ali površina je sačuvana od iteracije do iteracije, a fraktal je isti kao početna piramida.

Menger spužva

Generalizacija Sierpinskog tepiha u trodimenzionalnom prostoru. Da biste izgradili spužvu, potrebno vam je beskonačno ponavljanje postupka: svaka kocka koja čini iteraciju podijeljena je na 27 tri puta manje kocke, iz kojih se bacaju središnja i njezinih 6 susjeda. Odnosno, svaka kocka generira 20 novih, tri puta manje. Dakle, fraktalna dimenzija je log320. Ovaj fraktal je univerzalna krivulja: svaka krivulja u trodimenzionalnom prostoru homeomorfna je nekom podskupini spužve. Spužva ima nulu volumena (budući da se na svakom koraku množi sa 20/27), ali postoji beskonačno veliko područje.

Još je puno geometrijskih fraktala, a površina ove stranice, nažalost, nije beskonačna. Stoga prijeđimo na sljedeću vrstu fraktala - algebarske.

Dinamični (algebrični) fraktali

Fraktali ove vrste nastaju u istraživanju nelinearnih dinamičkih sustava (otuda i naziv). Ponašanje takvog sustava može se opisati složenom nelinearnom funkcijom (polinom) f (z).

Julije postavlja

Uzmite neku početnu točku z0 na složenoj ravnini. Sada razmotrimo beskonačni niz brojeva na složenoj ravnini, od kojih je svaki dobiven iz prethodne: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), ... zn + 1 = f (zn). Ovisno o početnoj točki z0, takav se niz može ponašati drugačije: skloni su beskonačnosti kao n → ∞; konvergirati se do neke krajnje točke; ciklično uzmi niz fiksnih vrijednosti; moguće su složenije opcije.

Dakle, svaka točka z složene ravnine ima svoj karakter ponašanja tijekom iteracija funkcije f (z), a cijela ravnina je podijeljena na dijelove. Štoviše, točke koje se nalaze na granicama ovih dijelova imaju sljedeće svojstvo: kod proizvoljno malog pomaka, priroda njihovog ponašanja dramatično se mijenja (takve se točke nazivaju bifurkacijskim točkama). Dakle, ispada da skupovi točaka koji imaju jednu određenu vrstu ponašanja, kao i skupovi bifurkacijskih točaka često imaju fraktalna svojstva. Ovo su Julijevi skupovi za funkciju f (z).

Mandelbrot set

Gradi se malo drugačije. Razmotrimo funkciju fc (z) = z2 + c, gdje je c složen broj. Konstruiramo slijed ove funkcije sa z0 = 0, ovisno o parametru c, može se odmaknuti do beskonačnosti ili ostati ograničen. Štoviše, sve vrijednosti c za koje je ovaj niz omeđen formiraju upravo Mandelbrotov skup. Detaljno ga je proučavao sam Mandelbrot i drugi matematičari, koji su otkrili mnoga zanimljiva svojstva ovog skupa.

Može se vidjeti da su definicije skupa Julia i Mandelbrot slične jedna drugoj. Zapravo su ta dva skupa usko povezana. Naime, Mandelbrotov skup sve su vrijednosti složenog parametra c za koji je povezan Julijin skup fc (z) (skup se naziva povezanim ako se ne može podijeliti na dva odvojena dijela, s nekim dodatnim uvjetima).

Halley Fractal

Takvi se fraktali dobivaju ako se Halleyjeva formula koristi kao pravilo za izgradnju dinamičkog fraktala za traženje približnih vrijednosti korijena neke funkcije. Formula je prilično glomazna, pa je svako tko želi vidjeti na Wikipediji. Ideja metode gotovo je jednaka onoj koja se koristila za crtanje dinamičnih fraktala: uzimamo neku početnu vrijednost (kao i obično, govorimo o složenim vrijednostima varijabli i funkcija) i na nju primjenjujemo formulu više puta dobivajući slijed brojeva. Gotovo uvijek se konvergira u jednu od nula funkcije (to jest vrijednost varijable kod koje funkcija uzima vrijednost 0). Halleyjeva metoda, unatoč glomaznosti formule, djeluje učinkovitije od Newtonove metode: slijed se brže konvertira u nulu.

Newtonov fraktal

Druga vrsta dinamičnih fraktala su Newtonovi fraktali (tzv. Bazeni). Formule za njihovu konstrukciju temelje se na metodi rješavanja nelinearnih jednadžbi koju je veliki matematičar izumio još u 17. stoljeću. Koristeći opću formulu Newtonove metode zn + 1 = zn - f (zn) / f '(zn), n = 0, 1, 2, ... za rješavanje jednadžbe f (z) = 0 na polinomu zk - a, dobivamo niz točaka: zn + 1 = ((k - 1) znk - a) / kznk-1, n = 0, 1, 2, .... Odabirom različitih složenih brojeva z0 kao početnih aproksimacija, dobivamo nizove koji se konvergiraju s korijenima ovog polinoma. Budući da ima točno k korijena, cijela je ravnina podijeljena na k dijelova - područja privlačenja korijena. Granice ovih dijelova imaju fraktalnu strukturu (imajte u zagradama da ako zadnju formulu zamijenimo k = 2 i uzmemo z0 = a kao početnu aproksimaciju, dobit ćemo formulu koja se zapravo koristi za izračun kvadratnog korijena a u računalima). Naš fraktal dobiva se iz polinoma f (z) = z3 - 1.

Primjena fraktala u industriji i svakodnevnom životu

Znanstvenici su vrlo strastvene ličnosti. Ne hranite ih kruhom, maštajmo o apstraktnim temama. Ali mi smo praktični ljudi i, pročitavši sve što je gore napisano, mnogi vjerojatno već imaju razumno pitanje: „pa što?“. Dakle, što je to znanje donijelo u svijet?

prvo, fraktali se koriste u računalnim sustavima i to vrlo gusto. Najkorisnija upotreba fraktala u računalnoj znanosti je fraktalna kompresija podataka. Ova vrsta kompresije temelji se na činjenici da je stvarni svijet dobro opisan fraktalnom geometrijom. Istovremeno se slike komprimiraju mnogo bolje nego što se to radi uobičajenim metodama (poput jpeg ili gif). Još jedna prednost fraktalne kompresije je da kada se slika uveća, nema efekta pikselacije (povećavanje veličine točkica na veličinama koje iskrivljavaju sliku). S fraktalnom kompresijom, nakon uvećanja, slika često izgleda još bolje nego prije.

drugo, to je mehanika tekućina i, kao posljedica, naftna industrija. Činjenica je da se proučavanje turbulencije u protocima vrlo dobro prilagođava fraktalima. Turbulentni tokovi su kaotični i stoga ih je teško precizno modelirati. I ovdje pomaže prijelaz na njihovu fraktalnu reprezentaciju, što uvelike olakšava rad inženjera i fizičara, omogućavajući im da bolje razumiju dinamiku složenih tokova. Koristeći fraktale, možete simulirati jezike plamena. Porozni materijali dobro su zastupljeni u fraktalnom obliku zbog činjenice da imaju vrlo složenu geometriju. Koristi se u naftnoj znanosti.

treći, vraćajući se kući iz tvornice u večernjim satima, ležeći na omiljenoj borbenoj sofi, uključujete televizor, koji je također povezan s fraktalima. Činjenica je da se antene koje imaju fraktalne oblike koriste za prijenos podataka na udaljenosti, što uvelike smanjuje njihovu veličinu i težinu.

Korištenje fraktalne geometrije u dizajniranju antenskih uređaja prvi je primijenio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je postavljanje vanjskih antena na zgrade bilo zabranjeno. Cohen je iz aluminijske folije izrezao oblik Koch krivulje, a zatim ga zalijepio na komad papira i zatim ga pričvrstio na prijemnik. Pokazalo se da takva antena ne radi ništa gore nego inače. Iako fizički principi takve antene još nisu proučeni, to nije spriječilo Cohena da uspostavi vlastitu tvrtku i dogovori njihovu serijsku proizvodnju. Trenutno je američka tvrtka Fractal Antenna System razvila novu vrstu antena. Sada možete odbiti koristiti izbočene vanjske antene u mobilnim telefonima - takozvana fraktalna antena nalazi se izravno na glavnoj ploči u uređaju.

Pored toga, fraktali se koriste za opisivanje zakrivljenosti površina. Grubu površinu karakterizira kombinacija dva različita fraktala. Također se koriste u razvoju interakcija biosenzora, proučavanju otkucaja srca, modeliranju kaotičnih procesa, posebno pri opisu modela životinjske populacije i tako dalje.

Fraktalna struktura tržišta

Sve ove ode fraktali bili bi uzalud da nije bilo fraktalne prirode financijskih tržišta. Da, konačno smo došli do rasprave o samom pitanju o kojem sam napisao ovaj članak.

Dakle, trenutno postoji mnogo načina za analizu financijskih tržišta na temelju kojih trgovci stvaraju svoje strategije trgovanja. Među raznim alatima za analizu i predviđanje, fraktalna je analiza u stranu. Ovo je zasebna svestrana i zanimljiva teorija za raspravu i proučavanje. Prvi dojam govori o jednostavnosti teme, ali kopajte dublje, i vidjet ćete mnoge skrivene nijanse.

Razumijevanje fraktala ključ je za otkrivanje skrivenih podataka o tržištu. Ali upravo je ona jedan od ključnih čimbenika tržišnog uspjeha špekulanta i ključ velike stabilne dobiti.

14. listopada 2010. preminuo je Benoit Mandelbrot - čovjek koji je na mnogo načina promijenio naše razumijevanje predmeta oko nas i naš jezik obogatio riječju "fraktal".

Kao što već znate, zahvaljujući Mandelbrotu znamo da nas fraktali svugdje okružuju. Neki od njih se neprestano mijenjaju, poput pokretnih oblaka ili plamena, dok drugi, poput obalnih linija, drveća ili naših krvožilnih sustava, čuvaju strukturu stečenu u procesu evolucije. Nadalje, stvarni raspon ljestvica na kojima se promatraju fraktalni proteže se od udaljenosti između molekula u polimerima do udaljenosti između nakupina galaksija u Svemiru. Najbogatija zbirka takvih predmeta prikupljena je u Mandelbrotovoj čuvenoj knjizi "Fraktalna geometrija prirode".

Najvažnija klasa prirodnih fraktala su kaotične vremenske serije ili vremenski uređena promatranja karakteristika različitih prirodnih, društvenih i tehnoloških procesa. Među njima postoje i tradicionalni (geofizički, ekonomski, medicinski), i oni koji su postali poznati relativno nedavno (dnevne fluktuacije u razini kriminala ili prometne nesreće u regiji, promjene u broju učitavanja određenih mjesta na Internetu itd.). Ove serije obično nastaju složenim nelinearnim sustavima koji imaju vrlo različitu prirodu. Međutim, za sve se obrazac ponašanja ponavlja u različitim mjerilima. Njihovi najpopularniji predstavnici su financijske vremenske serije (prije svega cijene dionica i tečajevi).

Sama slična struktura takvih serija poznata je već jako dugo. U jednom od svojih članaka Mandelbrot je napisao da je njegovo zanimanje za burzovne kotacije počelo izjavom jednog od trgovaca dionicama: "... Kretanje cijena većine financijskih instrumenata izvana je slično u različitim vremenskim razmjerima i cijenama. Promatrač ne može po pojavljivanju grafikona utvrditi podatke promjene tjedno, dnevno ili po satu. "

Mandelbrot, koji zauzima vrlo posebno mjesto u financijskoj znanosti, imao je slavu "podređivača temelja", što je među ekonomistima stvorilo očito dvosmislen stav prema sebi. Od pojave suvremene financijske teorije koja se temelji na konceptu opće ravnoteže, on je bio jedan od glavnih kritičara i pokušao je pronaći prihvatljivu alternativu do kraja svog života. No, upravo je Mandelbrot razvio sustav koncepata, koji uz odgovarajuće izmjene, kako se ispostavilo, omogućava ne samo izgradnju učinkovite prognoze, već i pružanje, naizgled, jedinog empirijskog utemeljenja klasične teorije financija u ovom trenutku.

Glavna karakteristika fraktalnih struktura je fraktalna dimenzija D, koju je 1919. uveo Felix Hausdorff. Za vremenske serije često se koristi Hurstov indeks H koji je povezan s fraktalnom dimenzijom omjerom D = 2 - H i pokazatelj je postojanosti (sposobnost održavanja određene tendencije) vremenskog niza.

Na tržištu obično postoje tri bitno različita režima: pri H = 0,5, ponašanje cijena opisano je slučajnim modelom hoda; kada je H> 0,5, cijene su u trendu (kretanje u smjeru prema gore ili dolje); pri H <0,5 cijene su u ravnom stanju ili česta kolebanja u prilično uskom rasponu cijena. Međutim, pouzdan izračun H (kao i D) zahtijeva previše podataka, što isključuje mogućnost korištenja tih karakteristika kao pokazatelja koji određuju lokalnu dinamiku vremenskog niza.

Kao što znate, osnovni model financijskih vremenskih serija je slučajni model hodanja, prvi ga je nabavio Luis Bachelier kako bi opisao promatranje cijena dionica na pariškoj burzi. Kao rezultat preispitivanja ovog modela, što se ponekad opaža i u ponašanju cijena, nastao je koncept učinkovitog tržišta na kojem cijena u potpunosti odražava sve dostupne podatke.

Za postojanje takvog tržišta dovoljno je pretpostaviti da ima veliki broj potpuno informiranih racionalnih agenata koji trenutno reagiraju na dolazne informacije i prilagođavaju cijene, dovodeći ih u ravnotežu. Svi glavni rezultati klasične teorije financija (teorija portfelja, CAPM model, Black-Scholes model i drugi) dobiveni su u okviru upravo takvog pristupa. Trenutno koncept učinkovitog tržišta i dalje igra dominantnu ulogu i u financijskoj teoriji i u financijskom poslovanju.

Ipak, početkom 60-ih godina prošlog stoljeća empirijska istraživanja pokazala su da se snažne promjene tržišnih cijena događaju mnogo češće nego što je to predviđao osnovni model učinkovitog tržišta (slučajni hodni model). Mandelbrot je bio jedan od prvih koji je koncept učinkovitog tržišta izložio sveobuhvatnoj kritici.

Doista, ako je ispravno izračunati vrijednost H indikatora za bilo koju dionicu, ona će se najvjerojatnije razlikovati od H = 0,5, što odgovara slučajnom modelu hodanja. Mandelbrot je pronašao sve moguće generalizacije ovog modela, koje se mogu odnositi na ponašanje stvarnih cijena. Kako se ispostavilo, to su, s jedne strane, procesi koje je on nazvao Levyjevim letom, a s druge, procesi koje je nazvao generaliziranim Brownovim pokretom.

Za opisivanje cjenovnog ponašanja koristi se koncept fraktalnog tržišta, koji se obično smatra alternativom učinkovitom tržištu. Koncept pretpostavlja da tržište ima širok raspon agenata s različitim investicijskim horizontom i, prema tome, različitim preferencijama. Ti horizonti variraju od nekoliko minuta za trgovače unutar dana do nekoliko godina za velike banke i investicijske fondove.

Stabilna pozicija na takvom tržištu je režim u kojem "prosječna profitabilnost ne ovisi o skali, osim što se množi s odgovarajućim faktorom skale". U stvari, govorimo o čitavoj klasi modusa, od kojih je svaki određen svojom vrijednošću pokazatelja H. Štoviše, vrijednost H = 0,5 ispada kao jedna od mnogih mogućih i, prema tome, jednaka bilo kojoj drugoj vrijednosti. Ova i druga bliska razmatranja stvorila su ozbiljne sumnje o postojanju stvarne ravnoteže na tržištu dionica.

Pogledajte tablice cijena niže:

Može se vidjeti da cijena stvara stalna kolebanja, formirajući tako strukturu ponavljajuće naravi.Vidljiv je na svim tržištima, bez obzira na vremensku skalu.

Na slici su grafikoni: BRN M30, BTCUSD H1, DAX30 D1, EURSGD M5, USDCHF H1, XAUUSD M15. Bez potpisa i objašnjenja jedva da ih je tko mogao razlikovati jedni od drugih.

Ovi grafikoni nisu baš slični, ali imaju zajedničke obrasce. U određenom vremenskom razdoblju cijena se kreće u jednom smjeru, zatim mijenja smjer u suprotni i djelomično vraća prethodno kretanje, a zatim se ponovno okreće. Nije važno koji se vremenski okvir koristi za grafikone - svi izgledaju otprilike isto (stalna kolebanja), baš kao i fraktali.

Fluktuacije tvore tržišne valove. Što je val? To je impuls i korekcija njemu (pokret-preokret-kretanje u suprotnom smjeru, djelomično obnavljajući prethodni). Takvi pokreti tvore valove.

Na slici su prikazani ti pokreti koji tvore valove. Nekoliko tih valova formira veliki val sličnog oblika (korekcija impulsa). Nekoliko malih valova tvori jedan srednji val.

Valovi srednje veličine tvore jedan veliki val. To je suština fraktalne teorije na financijskim tržištima.

Niz takvih valova oblikuje usmjerena kretanja na tržištu - trendovi. Takvi trendovi zauzvrat tvore usmjerene pokrete starijeg vremenskog poretka. Kao u slučaju valova, i mali pokreti formiraju jednu sredinu, itd. Time se razlikuju kratkoročni trendovi, srednjoročni i dugoročni. Ovo je klasično razumijevanje fraktalne prirode tržišta.

Fractals Bill Williams

Kao što rekoh, tržišni fraktali jedan su od pokazatelja u sustavu trgovanja Bill Williams. Vjeruje se da je upravo on taj naziv uveo u trgovanje, ali, kao što znate, to nije tako. Prilikom trgovanja fraktalima, u kombinaciji s pokazateljem Alligator, autor je pronašao lokalne maksimume ili slabe razlike na tržištu. Napisao je i da određivanje fraktalne strukture tržišta omogućava vam pronalaženje načina za razumijevanje ponašanja cijena.

Općenito, teorija Williamsovih fraktala svojedobno je izazvala žestoku raspravu, prije svega zato što je autor, kako mnogi vjeruju, u svoju teoriju ubacio puno znanstvene terminologije (fraktal, atraktor i slično) i učinio to ne sasvim ispravno.

Općenito, Williamsovi fraktali pojavljuju se na tržištu prilično često i na gotovo svim vremenskim okvirima i u stvari su jednostavni lokalni krajnosti na segmentu od 5 bara i praktički ne odgovaraju matematičkoj teoriji fraktala. Thomas Demark TD-ovi drugog reda su potpuno iste formacije na grafu. Međutim, unatoč svim tim slučajnostima - ova je teorija vrlo popularna do danas.

Williamsova tehnička analiza ispituje 4 postojeće fraktalne formacije:

  • pravi fraktal kupiti;
  • lažni fraktal kupiti;
  • istinski fraktal prodati;
  • lažni fraktal na prodaju.

O istinitim i lažnim fraktalima razgovarat ćemo i kako ih razlikovati u nastavku.

Pokazatelj fraktala u trgovačkom terminalu MetaTrader

Indikatori Bill Williams ne zahtijevaju instalaciju i uključeni su u standardni set pokazatelja dostupnih trgovcu izvan okvira. Da biste dodali fraktalni indikator na terminal MetaTrader 4 na grafikon, morate: u glavnom izborniku (ili u prozoru "Navigator") odabrati stavku izbornika "Umetanje" - "Pokazatelji" - "Bill Williams" - "Fraktali":

Standardni indikator za MT4 nema druge postavke osim boje. Njegova upotreba s fiksnim vremenom od "5" negira sve mogućnosti i prednosti ovog alata. No, za platformu MetaTrader postoji mnogo prilagođenih pokazatelja koji će pomoći u rješavanju ovog problema.

Problem neistine i istinitosti fraktala

Tijekom trgovanja pomoću fraktala postoji jedna važna nijansa - pojava na grafikonu velikog broja signala, od kojih su neki lažni. Da bi ih filtrirao, Bill Williams razvio je još jedan pokazatelj nazvan "Aligator", koji se može naći i u standardnom skupu pokazatelja u MT4.

Problem lažnih fraktala glavni je izvor pogrešaka, sličan procjenama istinitosti sloma podrške / otpora. Bez obzira na specifičnu metodologiju, općenito načelo za određivanje pouzdanosti glasi kako slijedi - svaka odstupanja od klasičnog izgleda trebaju biti u dvojbi. Kao i u čitavoj tehničkoj analizi, smanjenje vremenskog okvira dovodi do povećanja lažnih signala i prepucavanja grafikona. Primjeri nestabilnih fraktala prikazani su na donjoj slici.

Kada vježbate velike obrasce, bolje je otvoriti pozicije u trenucima korekcije posljednjeg impulsa cijene, koji se nalaze na lijevoj strani formacije. Unutar obrasca, standardne Fibonaccijeve korekcije pouzdano djeluju na 38% (0,382), 50% (0,500) i 62% (0,618). Ako razvučete razine kroz susjedne indikatorske signale, možete otvoriti ograničenje naloga u blizini ključnih razina.

Na isti način možete zaštititi transakciju od nepredvidivog obrnutog kvarenja postupnim pomicanjem stopera za kontrolu suprotnog maksimuma ili minimuma zadnje i pretposljednje svijeće. Kad se struktura tek formira, zaustavljanje bi trebalo biti najmanje 5-10 bodova iznad ili ispod posljednjeg signala koji je dao fraktalni indikator. Zatim, uz manje odstupanja, ostajemo na tržištu, a ako dođe do potpune promjene trenda, transakcija se zatvara s minimalnim gubitkom.

Postoji još jedan način da utvrdimo da imamo lažne fraktale - kad ih probija šipka s dugom sjenom i malim tijelom (pin bar). Što je duži "nos", to je jači signal preokreta, što znači da tržište nije uspjelo promijeniti razinu posljednjeg uzorka prvi put. Ako se dogodio kvar, a slijedeća svijeća je zatvorena iznad Visokog (na prodaju) ili ispod Niska (za kupnju) nosa, tada s velikom vjerojatnošću možete preskočiti signal i pričekati sljedeću. Slična se situacija može dogoditi u 3-5 bara, ali obratimo pozornost samo na traku koja je probila pokazatelj Fractals.

Praktična upotreba fraktala

Bill Williams savjetovao je uporabu fraktala u strategijama koje se temelje na probijanju važnih razina cijena. Kretanje cijena iznad ili ispod barem jedne točke od razine prethodnog fraktala, prema autoru ovog pokazatelja, već govori o probijanju ove razine cijenom.

Probijanje kroz razinu prethodnog fraktala naziva se probojom kupaca u slučaju da cijena poraste iznad prethodnog fraktala usmjerenog prema gore. U suprotnom slučaju, kada cijena padne ispod prethodnog fraktala, usmjerenog prema dolje, oni govore o proboju prodavača. Bill Williams savjetovao je proboj kupaca ili prodavača kao signal za otvaranje pozicije.

Obično trgovci čekaju naloge za zaustavljanje nekoliko bodova iznad ili ispod fraktala kako bi otvorili poziciju u slučaju probijanja ove razine. U takvim se slučajevima zaustavni gubitak obično postavlja na razini pretpostavljenog suprotnog fraktala.

U klasičnom tumačenju, Bill Williams savjetuje filtriranje trgovačkih signala generiranih fraktalima pomoću pokazatelja Alligator. Dakle, za otvaranje pozicije kupnje potrebno je da se fraktal nalazi iznad crvene linije (tzv. "Zubi aligatora"). Autor strategije savjetovao je ulazak na tržište odmah nakon probijanja fraktala ili korištenja čekanog BuyStop naloga. Ulazak na tržište prodaje događa se u slučaju probijanja fraktala ispod crvene linije.

Više o ovoj strategiji možete pročitati u članku o profitu Bill Billsa. Analizirat ćemo glavne praktične načine upotrebe fraktala izolirano od ovog vozila.

Trgovanje fraktalom

Ova metoda je klasična, koju je predložio Bill Williams. Kao što naziv govori, trgovina je u prirodi kvarova i osmišljena je da nastavi trenutni trend. Ulaz u transakciju vrši se čekanjem za zaustavljanje frakcije fraktala najbliže cijeni. Primjer možete vidjeti na gornjoj slici.

Prema samom autoru, ova će metodologija trgovanja dati puno lažnih ulaza, pa Bill predlaže filtriranje signala pomoću pokazatelja Alligator. U principu, pokazatelj aligatora može se zamijeniti običnim pokretnim prosjecima, a može se koristiti i kao filtar. Ali ponavljam da nema smisla razmotriti fraktale i aligator odvojeno od ostalih Williamsovih alata, tako da se nećemo zadržavati na tome i krenuti dalje.

Fraktali kao razine podrške / otpora

Ako ste se barem jednom susreli sa razinom podrške / otpora, tada znate koliko ih je teško izgraditi, pogotovo ako ste početnik. I sva ta složenost proizlazi iz subjektivnosti ovog alata. Kada izgradimo razine, ne možemo sa sigurnošću reći jesmo li ih ispravno izgradili ili ne. Bill Williams sa svojim fraktalima pruža nam izvrstan alat za pronalaženje i izgradnju smislenih razina podrške i otpora.

Stavimo indikator na neki grafikon i analiziramo ga u smislu razina.

Ovo je USDCHF D1 karta s klasičnim fraktalom. Da, raspored je jednostavno prepun ovih strelica. Ako se horizontalna crta povuče kroz svaki ekstrem koji je označen indikatorom, tada i sam grafikon neće biti vidljiv iza tih linija.

Povećamo broj razdoblja i pogledamo rezultat:

Kao što vidite, grafikon je postao bolji i ostaju doista značajni krajnosti kroz koje se mogu privući razine pogodne za trgovanje. Obratite pažnju na to kako cijena "poštuje" i ispunjava ove razine. Siguran sam da ćemo u budućnosti, kada im se cijena približi, opet vidjeti reakciju na njih.

Fraktali i linije trenda

Još jedna prilično dobra metoda primjene fraktalnih pokazatelja je definiranje referentnih točaka za crtanje trendova:

Bacio sam indikator na grafikon, povećavajući broj traka u postavkama. Zatim je nacrtao nekoliko linija trenda kroz neke fraktale. Doista, linije su se pokazale prilično zanimljive, a cijena utječe na njih. Naravno, trgovac bi trebao imati osnovna znanja iz područja tehničke analize i građenja trendova. Ali siguran sam da će ovaj pokazatelj biti dobra pomoć u praksi za početnike koji špekuliraju na valuti.

Utvrđivanje trenda pomoću pokazatelja

Pomoću fraktala možemo odrediti i dominantni trend na tržištu. To je vrlo lako napraviti. Ako se prisjetimo definicije trenda, koja kaže da je uzlazni trend niz porasta lokalnih uspona i padova, a silazni trend je niz padajućih krajnosti. Bacimo indikator na grafikon i vidimo da će se uzlazni trend kupovine fraktala češće ažurirati (probijati) nego prodavati fraktale.

Definicija ravnih pokreta

Ako cijena ne bi mogla prevladati prethodni fraktal, ovo može poslužiti kao signal za početak ravnog pokreta. Da biste potvrdili signal, morate pričekati formiranje suprotnog fraktala.

Ako se također nije mogao probiti kroz prethodni fraktal, tada bismo trebali očekivati ​​stan u rasponu između gornjeg i donjeg fraktala, koji će završiti nakon proboja po cijeni jedne od tih razina.

Zaključak

Fractal pokazatelj i njegove modifikacije grade na grafikonu mnoge potencijalne ulazne točke za svaki ukus, a većina se čini prilično pouzdanima. Zapravo, ova tehnika analize nije tako jednostavna i nedvosmislena. Početnicima se ne preporučuje korištenje kao jedini faktor donošenja odluke.

Fraktali se ne mogu koristiti za predviđanje cijena. Čak ih je Williams smatrao, barem trećim, faktorom koji potvrđuje. Napominjemo da standardni Fractal indikator, koji je dio osnovnog skupa trgovinskih platformi, nema parametara, pa odaberite modifikacije tamo gdje se mijenja broj namirivih traka. Tako se možete preciznije prilagoditi određenom dobru.

Upotreba će imati pozitivan rezultat samo u kombinaciji s drugim pokazateljima u intervalima od sat vremena ili više. Strategije koje uključuju pokazatelj Fraktals moraju definitivno analizirati nekoliko vremenskih okvira. Međutim, nemojte odbaciti ovaj pokazatelj.

Ostavite Komentar